Question

已知圓的方程為:，直線的方程為，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為．

（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；

（3）求證：經(jīng)過(其中點(diǎn)為圓的圓心)三點(diǎn)的圓必經(jīng)過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

（1）或；（2）或；（3）該圓必經(jīng)過定點(diǎn)和.

【解析】

試題分析：（1）由題中條件，在直角三角形中計(jì)算出，設(shè)點(diǎn)，然后將坐標(biāo)化，求解關(guān)于的方程，最后寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（2）先由弦長(zhǎng)計(jì)算出圓心到直線的距離，設(shè)的方程為，最后由點(diǎn)到直線的距離公式即可求出的取值，進(jìn)而寫出直線的方程即可；（3）設(shè)，過點(diǎn)的圓即是以為直徑的圓，從而得到該圓的方程，根據(jù)其方程是關(guān)于的恒等式，列出方程組，求解可得，得到經(jīng)過三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：（1）由條件可得，設(shè)，則，解得或，所以點(diǎn)或點(diǎn)

（2）由已知圓心到直線的距離為，設(shè)直線的方程為，則，解得或

所以直線的方程為或

（3）設(shè)，過點(diǎn)的圓即是以為直徑的圓，其方程為：

，整理得

即

由得或，該圓必經(jīng)過定點(diǎn)和.

考點(diǎn)：直線與圓的方程的綜合應(yīng)用.