Question

已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P滿足

AP

•

BP

=-3．
（I）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若過定點(diǎn)M（0，-2）的直線l與曲線C有公共點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍；
（Ⅲ）若動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）在曲線上，求u=

y+2

x-1

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,點(diǎn)到直線的距離公式

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：（I）設(shè)P（x，y），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡即可得到曲線C的方程；
（Ⅱ）可設(shè)直線l：y=kx-2，運(yùn)用直線和圓有公共點(diǎn)的條件：d≤r，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，解不等式即可得到取值范圍；
（Ⅲ）由動(dòng)點(diǎn)Q（x，y），設(shè)定點(diǎn)N（1，-2），u=

y+2

x-1

的幾何意義是直線QN的斜率，再由直線和圓相交的條件d≤r，解不等式即可得到范圍．

解答： 解：（I）設(shè)P（x，y），

AP

•

BP

=（x+2，y）•（x-2，y）=x²-4+y²=-3，
即有x²+y²=1，P點(diǎn)的軌跡為圓C：x²+y²=1；
（Ⅱ）可設(shè)直線l：y=kx-2，即為kx-y-2=0，當(dāng)直線l與曲線C有交點(diǎn)，得，

|0-0-2|

1+k2

≤1，解得，k≥

3

或k≤-

3

．
即有直線l的斜率k的取值范圍是（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）；
（Ⅲ）由動(dòng)點(diǎn)Q（x，y），設(shè)定點(diǎn)N（1，-2），則直線QN的斜率為k=

y+2

x-1

=u，
又Q在曲線C上，故直線QN與圓有交點(diǎn)，
由于直線QN方程為y+2=k（x-1）即為kx-y-k-2=0，
當(dāng)直線和圓相切時(shí)，

|-k-2|

1+k2

=1，解得，k=-

3

4

，
當(dāng)k不存在時(shí)，直線和圓相切，
則k的取值范圍是（-∞，-

3

4

]

點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查直線斜率的公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．