Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+4x+b（a＜0，且a，b∈R）．設(shè)關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集為（x₁，x₂），且方程f（x）=x的兩實(shí)根為α，β．
（Ⅰ）若|α-β|=1，試比較a，b的大��；
（Ⅱ）若α＜1＜β＜2，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由條件可得，故，化簡(jiǎn)得，根據(jù)a與的大小關(guān)系判斷a，b的大小．
（Ⅱ）令g（x）=ax²+3x+b，根據(jù)x₁，x₂是方程ax²+4x+b=0的兩根，可得．令，由線(xiàn)規(guī)劃求出的取值范圍．再利用導(dǎo)數(shù)求出h（t）=（1-t）e^1+t 在（-4，6）上的最大值為e，即h（t）≤e，不等式得證．
解答：解：（Ⅰ）由方程f（x）=x，得ax²+3x+b=0，由已知得9-4ab＞0，．
∴，
∴（α+β）²-4αβ=1，
∴，即a²+4ab=9．
∴b=，
∴=．
∴當(dāng)時(shí)，a＞b；當(dāng) ； ．
（Ⅱ）令g（x）=ax²+3x+b，又a＜0，α＜1＜β＜2．
∴，即．
又x₁，x₂是方程ax²+4x+b=0的兩根，∴．
令，由線(xiàn)性約束條件，可知的取值范圍為（-4，6）．
令h（t）=（1-t）e^1+t，則h′（t）=-t•e^1+t，
∴h（t）在（-4，0）上遞增，在（0，6）上遞減，故函數(shù)h（t）在（-4，6）上的最大值為e，
故h（t）≤e，即 成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系以及簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．