Question

13．（1）求過(guò)點(diǎn)P（3，4）且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)l方程．
（2）已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1）和B（2，-2），且圓心C在直線(xiàn)l：x-y+1=0上，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出直線(xiàn)方程，當(dāng)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)的截距式方程x+y=a，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求解a，則答案可求．
（2）求出直線(xiàn)AB的斜率，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)l方程，然后求解圓心C的坐標(biāo)，圓的半徑，然后求解圓的方程．

解答 解：（1）解：當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)方程為y=$\frac{4}{3}$x，即4x-3y=0；
當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為x+y=a．
則3+4=a，得a=7．
∴直線(xiàn)方程為x+y-7=0．
∴過(guò)點(diǎn)M（3，4）且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)方程為4x-3y=0或x+y-7=0．
故答案為：4x-3y=0或x+y-7=0．
（2）因?yàn)锳（1，1），B（2，-2），所以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為$（{\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}}）$，直線(xiàn)AB的斜率為${k_{AB}}=\frac{-2-1}{2-1}=-3$，因此線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)l方程為$y+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}（{x-\frac{3}{2}}）$，即x-3y-3=0
圓心C的坐標(biāo)是方程組$\left\{{\begin{array}{l}{x-3y-3=0}\\{x-y+1=0}\end{array}}\right.$的解，解此方程組得$\left\{{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-2}\end{array}}\right.$，
所以圓心C的坐標(biāo)為（-3，-2）圓的半徑$r=|{AC}|=\sqrt{{{（{1+3}）}^2}+{{（{1+2}）}^2}}=5$，
所以圓的方程為（x+3）²+（y+2）²=25．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程和截距式方程，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，圓的方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．