Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足

1

3

a_n≤a_n+1≤3a_n，n∈N*，a₁=1．
（1）若a₁，a₂，…，a₁₀₀成等差數(shù)列，求數(shù)列a₁，a₂，…，a₁₀₀的公差的取值范圍；
（2）若{a_n}是等比數(shù)列，且a_m=

1

1000

，求正整數(shù)m的最小值，以及m取最小值時(shí)相應(yīng){a_n}的公比．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題得

1

3

[1+(n-1)d]≤1+nd≤3[1+(n-1)d]，從而

d(2n+1)≥-2 d(2n-3)≥-2

，由此能求出公差的取值范圍．
（2）由題得

1

3

qn-1≤qn≤3qn-1，從而得到q∈[

1

3

，3]．又由已知得到m=1+logq

1

1000

≥1+log

1

3

1

1000

，從而m≥8，由此能求出正整數(shù)m的最小值，以及m取最小值時(shí)相應(yīng){a_n}的公比．

解答： 解：（1）由題得，∵

1

3

an≤an+1≤3an，
且數(shù)列數(shù)列a₁，a₂，…a₁₀₀成等差數(shù)列，a₁=1，
∴

1

3

[1+(n-1)d]≤1+nd≤3[1+(n-1)d]，
∴

d(2n+1)≥-2 d(2n-3)≥-2

，∴d∈[-

2

199

，2]．
（2）由題得，∵

1

3

an≤an+1≤3an，且數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，a₁=1，
∴

1

3

qn-1≤qn≤3qn-1，
∴

qn-1(q- 1 3 )≥0 qn-1(q-3)≤0

，∴q∈[

1

3

，3]．
又由已知am=qm-1=

1

1000

，
∴m=1+logq

1

1000

≥1+log

1

3

1

1000

，又∵m∈N^*，∴m≥8，
∴m的最小值為8，此時(shí)logq

1

1000

=7，
∴q=

7	1 1000

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的公差的取值范圍的求法，考查等比數(shù)列的公比的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．