Question

如圖，有三個(gè)生活小區(qū)（均可看成點(diǎn)）分別位于A、B、C三點(diǎn)處，AB=AC，A到線段BC的距離AO=40，∠ABO=

2π

7

（參考數(shù)據(jù)：tan

2π

7

≈

2 3

3

）．今計(jì)劃建一個(gè)生活垃圾中轉(zhuǎn)站P，為方便運(yùn)輸，P準(zhǔn)備建在線段AO（不含端點(diǎn)）上．
（I）設(shè)PO=x（0＜x＜40），試將P到三個(gè)小區(qū)距離的最遠(yuǎn)者S表示為x的函數(shù)，并求S的最小值；
（II）設(shè)∠PBO=a（0＜α＜

2π

7

），試將P到三個(gè)小區(qū)的距離之和y表示為a的函數(shù)，并確定當(dāng)a取何值時(shí)，可使y最��？

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形的邊角關(guān)系及其勾股定理、函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）根據(jù)條件列出其表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性，進(jìn)而即可得出最小值．

解答：解：（1）在Rt△AOB中，∵AO=40，∠ABO=

2π

7

，∴BO=

AO

tan 2π 7

=

40

2 3 3

=20

3

，
∴PA=40-x，PB=PC=

1200+x2

，
①若PA≥PB，即40-x≥

1200+x2

，即0＜x≤5時(shí)，S=40-x；
②若PA＜PB，即40-x＜

1200+x2

，即5＜x＜40時(shí)，S=

1200+x2

．
從而S=

40-x，當(dāng)0＜x≤5時(shí) 1200+x2 ，當(dāng)5＜x＜40時(shí)

．
當(dāng)0＜x≤5時(shí)，S=40-x單調(diào)遞減，∴S_min=35；
當(dāng)5＜x＜40時(shí)，S=

1200+x2

，是增函數(shù)，∴S＞S（5）=35．
綜上可知：當(dāng)x=5時(shí)，S取得最小值為35．
（2）在Rt△BOP中，BP=

BO

cosα

=

20 3

cosα

，PO=BOtanα=20

3

tanα，
∴y=2BP+（AO-PO）=40+2BP-PO=

40 3

cosα

+40-20

3

tanα=40+20

3

×

2-sinα

cosα

∵y′=20

3

×

2sinα-1

cos2α

，令y^′=0，即sinα=

1

2

，從而α=

π

6

，
當(dāng)0＜a＜

π

6

時(shí)，y^′＜0；當(dāng)

π

6

＜a＜

2π

7

時(shí)，y^′＞0．
當(dāng)α=

π

6

時(shí)，可使y最小．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列掌握勾股定理、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．