如圖，有三個生活小區(qū)（均可看成點）分別位于A、B、C三點處，AB=AC，A到線段BC的距離AO=40，∠ABO=（參考數(shù)據(jù)：tan）．今計劃建一個生活垃圾中轉站P，為方便運輸，P準備建在線段AO（不含端點）上．
（I）設PO=x（0＜x＜40），試將P到三個小區(qū)距離的最遠者S表示為x的函數(shù)，并求S的最小值；
（II）設∠PBO=a（0），試將P到三個小區(qū)的距離之和y表示為a的函數(shù)，并確定當a取何值時，可使y最�。�

【答案】分析：（1）利用直角三角形的邊角關系及其勾股定理、函數(shù)的單調性即可得出；
（2）根據(jù)條件列出其表達式，利用導數(shù)得出其單調性，進而即可得出最小值．
解答：解：（1）在Rt△AOB中，∵AO=40，∠ABO=，∴==，
∴PA=40-x，PB=PC=，
①若PA≥PB，即40-x≥，即0＜x≤5時，S=40-x；
②若PA＜PB，即40-x＜，即5＜x＜40時，S=．
從而S=．
當0＜x≤5時，S=40-x單調遞減，∴Smin=35；
當5＜x＜40時，S=，是增函數(shù)，∴S＞S（5）=35．
綜上可知：當x=5時，S取得最小值為35．
（2）在Rt△BOP中，BP==，PO=BOtanα=，
∴y=2BP+（AO-PO）=40+2BP-PO==40+
∵，令y′=0，即，從而，
當0時，y′＜0；當時，y′＞0．
當時，可使y最�。�
點評：數(shù)列掌握勾股定理、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)有三個生活小區(qū)，分別位于A，B，C三點處，且AB=AC=20
7
，BC=40
3
．今計劃合建一個變電站，為同時方便三個小區(qū)，準備建在BC的垂直平分線上的P點處，建立坐標系如圖，且∠ABO≈
2
7
π．
（Ⅰ）若希望變電站P到三個小區(qū)的距離和最小，點P應位于何處？
（Ⅱ）若希望點P到三個小區(qū)的最遠距離為最小，點P應位于何處？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，有三個生活小區(qū)（均可看成點）分別位于A、B、C三點處，AB=AC，A到線段BC的距離AO=40，∠ABO=
2π
7
（參考數(shù)據(jù)：tan
2π
7
≈
2
3
3
）．今計劃建一個生活垃圾中轉站P，為方便運輸，P準備建在線段AO（不含端點）上．
（I）設PO=x（0＜x＜40），試將P到三個小區(qū)距離的最遠者S表示為x的函數(shù)，并求S的最小值；
（II）設∠PBO=a（0＜α＜
2π
7
），試將P到三個小區(qū)的距離之和y表示為a的函數(shù)，并確定當a取何值時，可使y最��？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分14分）

有三個生活小區(qū),分別位于三點處，且，. 今計劃合建一個變電站，為同時方便三個小區(qū)，準備建在的垂直平分線

上的點處，建立坐標系如圖，且.

(Ⅰ)  若希望變電站到三個小區(qū)的距離和最小，

點應位于何處？

(Ⅱ)  若希望點到三個小區(qū)的最遠距離為最小，

點應位于何處？

                                      

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆江蘇鹽城明達中學高三上學期學情調研考試數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

(本小題滿分14分)如圖,有三個生活小區(qū)(均可看成點)分別位于三點處,,到線段的距離,(參考數(shù)據(jù): ). 今計劃建一個生活垃圾中轉站,為方便運輸,準備建在線段(不含端點)上.

（1）設,試將到三個小區(qū)距離的最遠者表示為的函數(shù),并求的最小值；

（2）設,試將到三個小區(qū)的距離之和表示為的函數(shù),并確定當取何值時,可使最小?

 

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