Question

已知A、B、C是橢圓E：

x2

4

+

y2

2

=1上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)且四邊形OABC為平行四邊形．
（1）當(dāng)點(diǎn)B是橢圓E的右頂點(diǎn)，且OB⊥AC時(shí)，求A點(diǎn)與C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)B不是橢圓E的頂點(diǎn)時(shí)，判斷是否存在點(diǎn)A使得OB⊥AC，若存在，求出A點(diǎn)坐標(biāo)．若不存在請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出B，再由菱形的對角線互相垂直，得到AC：x=1，代入橢圓方程，解得即可；
（2）當(dāng)點(diǎn)B不是橢圓E的頂點(diǎn)時(shí)，假設(shè)存在點(diǎn)A使得OB⊥AC．得到OB的中點(diǎn)，再由點(diǎn)差法，設(shè)出A，C的坐標(biāo)，代入橢圓方程，相減，得到AC的斜率，再由垂直的條件，得到等式，即可判斷．

解答： 解：（1）橢圓E：

x2

4

+

y2

2

=1的a=2，b=

2

，
則B（2，0），
由于四邊形OABC為平行四邊形，且OB⊥AC，
則AC：x=1，代入橢圓方程，解得，y²=

3

2

，
即有A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-

6

2

）
與C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，

6

2

）；
（2）當(dāng)點(diǎn)B不是橢圓E的頂點(diǎn)時(shí)，假設(shè)存在點(diǎn)A使得OB⊥AC．
由于四邊形OABC為平行四邊形，且OB⊥AC，則設(shè)B（m，n），（mn≠0）
OB的斜率為k=

n

m

，OB的中點(diǎn)為（

m

2

，

n

2

）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1，
兩式相減得，

(x1-x2)(x1+x2)

4

=-

(y1-y2)(y1+y2)

2

由于x₁+x₂=m，y₁+y₂=n，代入上式，可得，k_AC=

y1-y2

x1-x2

=-

m

2n

，
可得，

n

m

•（-

m

2n

）=-

1

2

，這與k_OB•k_AC=-1，矛盾．
故當(dāng)點(diǎn)B不是橢圓E的頂點(diǎn)時(shí)，不存在點(diǎn)A使得OB⊥AC．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查運(yùn)用點(diǎn)差法解決弦中點(diǎn)問題，考查兩直線垂直的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．