已知P是橢圓
x2
4
+y2=1上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，A（2，0），B（0，1），O為原點(diǎn)，則四邊形OAPB面積的最大值為（　�。�
A、2
B、
2
+2
C、
2
D、1
考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：利用三角函數(shù)來解答這道題，橢圓方程
x2
4
+y2=1上的點(diǎn)的自變量x，y可以表示為 x=2cosα，y=sinα 本題中要求第一象限，這樣就應(yīng)該有0＜a＜π，設(shè)P為（2cosα，sinα）這樣四邊形OAPB的面積就可以表示為兩個(gè)三角形OAP和OPB面積之和，對于三角形OAP有面積S1=sinα，對于三角形OBP有面積S2=cosα 這樣四邊形的面積S=S1+S2=sinα+cosα也就相當(dāng)于求解sinα+cosα的最大值，0＜a＜π，sinα+cosα=
2
sin（α+
π
4
）這樣其最大值就應(yīng)該為
2
，并且當(dāng)且僅當(dāng)α=
π
4
時(shí)成立．
解答： 解：由于點(diǎn)P是橢圓
x2
4
+y2=1上的在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，
 設(shè)P為（2cosα，sinα）即x=2cosα y=sinα （0＜α＜π），
這樣四邊形OαPB的面積就可以表示為兩個(gè)三角形OαP和OPB面積之和，
對于三角形OαP有面積S1=sinα 對于三角形OBP有面積S2=cosα
∴四邊形的面積S=S1+S2=sinα+cosα
=
2
sin（α+
π
4
）
其最大值就應(yīng)該為
2
，
并且當(dāng)且僅當(dāng)α=
π
4
成立．所以，面積最大值
2
．
故選：C．
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，解答的關(guān)鍵在于利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)出橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角函數(shù)的有界性求最值．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

判斷下列函數(shù)的奇偶性．
（1）f（x）=|sinx|；
（2）f（x）=sinxcosx．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在區(qū)間（-π，0）上的函數(shù)f（x）=xsinx+cosx，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊BC，AC上，線段AD，BE相交于點(diǎn)F，則“F為△ABC的重心”是“
AF
FD
=
BF
FE
=2”的（　　）
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充分必要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l1：
x=1+t
y=-5+
3
t
（t為參數(shù)）和直線l2：x-y-2
3
=0的交于點(diǎn)P．
（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)P與Q（1，-5）的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A={x|y=
36-x2
}，B={β|2kπ-
π
3
≤β≤2kπ+
π
3
，k∈Z}，求A∩B．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B、C是橢圓E：
x2
4
+
y2
2
=1上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)且四邊形OABC為平行四邊形．
（1）當(dāng)點(diǎn)B是橢圓E的右頂點(diǎn)，且OB⊥AC時(shí)，求A點(diǎn)與C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)B不是橢圓E的頂點(diǎn)時(shí)，判斷是否存在點(diǎn)A使得OB⊥AC，若存在，求出A點(diǎn)坐標(biāo)．若不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|．
（1）解不等式f（x）≥3；
（2）若f（x）≥a-1的解集為R，求a取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=4x-
1
2
-a•2x+
27
2
在區(qū)間[0，2]上的最大值為9，求實(shí)數(shù)a的值．

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