Question

已知點（

1

2

，16）在冪函數y=f（x）的圖象上．
（1）求f（x）的解析式；
（2）寫出f（x）的單調區(qū)間；
（3）求不等式f（2x-1）＜f（x）的解集．

Answer 1

分析：（1）設冪函數y=f（x）=x^α，根據點（

1

2

，16）在冪函數y=f（x）的圖象上，求得α 的值，可得函數的解析式為f（x）．
（2）由函數的解析式 f（x）=

1

x4

，求得函數的減區(qū)間．
（3）由不等式f（2x-1）＜f（x），可得①2x-1＞x＞0，或②2x-1＜x＜0，或③

2x-1＜0 x＞0

．分別求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：（1）設冪函數y=f（x）=x^α，根據點（

1

2

，16）在冪函數y=f（x）的圖象上，
可得 (

1

2

)α=16=(

1

2

)-4，解得α=-4，
∴函數的解析式為f（x）=x^-4．
（2）∵f（x）=

1

x4

，它在（0，+∞）上是減函數，在（-∞，0）上也是減函數，
故函數的減區(qū)間為（-∞，0）、（0，+∞）．
（3）由不等式f（2x-1）＜f（x），可得①2x-1＞x＞0，或②2x-1＜x＜0，或③

2x-1＜0 x＞0

．
解①求得x＞1，解②求得x＜0，解③求得0＜x＜

1

2

．
綜上可得，不等式的解集為（1，+∞）∪（0，

1

2

）∪（-∞，0）．

點評：本題主要考查用待定系數法求函數的解析式，函數的單調性的判斷，利用函數的單調性解不等式，屬于基礎題．