Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值；
（2）若a＞2，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不必證明）；
（3）若存在a∈[-2，4]，使得關(guān)于x的方程f（x）=t•f（a）有三個不相等的實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過圖象直接得出，（2）將x分區(qū)間進行討論，去絕對值寫出解析式，求出單調(diào)區(qū)間，（3）將a分區(qū)間討論，求出單調(diào)區(qū)間解出即可．

解答： 解：（1）當a=2，x∈[0，3]時，f(x)=x|x-2|+2x=

x2  ，         x≥2  -x2+4x ， 0≤x＜2 .

作函數(shù)圖象，

可知函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上是增函數(shù)．
所以f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值為f（3）=9．
（2）f(x)=

x2+(2-a)x  ，  x≥a  -x2+(2+a)x ， x＜a .

①當x≥a時，f(x)=(x-

a-2

2

)2-

(a-2)2

4

．
因為a＞2，所以

a-2

2

＜a．
所以f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞增．
②當x＜a時，f(x)=-(x-

a+2

2

)2+

(a+2)2

4

．
因為a＞2，所以

a+2

2

＜a．
所以f（x）在(-∞ ， 

a+2

2

]上單調(diào)遞增，在[

a+2

2

 ， a]上單調(diào)遞減．
綜上所述，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是(-∞ ， 

a+2

2

]和[a，+∞），遞減區(qū)間是[

a+2

2

，a]．
（3）①當-2≤a≤2時，

a-2

2

≤0，

a+2

2

≥0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，關(guān)于x的方程f（x）=t-f（a）不可能有三個不相等的實數(shù)解．
②當2＜a≤4時，由（1）知f（x）在(-∞ ， 

a+2

2

]和[a，+∞）上分別是增函數(shù)，在[

a+2

2

 ， a]上是減函數(shù)，
當且僅當2a＜t•f(a)＜

(a+2)2

4

時，方程f（x）=t•f（a）有三個不相等的實數(shù)解．
即1＜t＜

(a+2)2

8a

=

1

8

(a+

4

a

+4)．
令g(a)=a+

4

a

，g（a）在a∈（2，4]時是增函數(shù)，
故g（a）_max=5．
∴實數(shù)t的取值范圍是(1 ， 

9

8

)．

點評：本題考查了函數(shù)的最值，函數(shù)單調(diào)性的證明，滲透了分類討論思想，綜合性較強，是較難的一道題．