Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，有以下4個命題：
①對任意的x₁、x₂∈（0，+∞），有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

；
②對任意的x₁、x₂∈（1，+∞），有f（x₁）-f（x₂）＜x₂-x₁；
③對任意的x₁、x₂∈（e，+∞），有x₁f（x₂）＜x₂f（x₁）；
④對任意的0＜x₁＜x₂，總有x₀∈（x₁，x₂），使得f(x0)≤

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．其中正確的是

 

（填寫序號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①利用對數(shù)的運算性質(zhì)以及基本不等式進(jìn)行判斷．
②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷．
③根據(jù)曲線斜率的幾何意義進(jìn)行判斷．
④利用特殊值法進(jìn)行排除．

解答： 解：∵f（x）=lnx是（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴對于①由f(

x1+x2

2

)=ln

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=ln

x1x2

，∵

x1+x2

2

＞

x1x2

故f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

  故①錯誤．
對于②③，不妨設(shè)x₁＜x₂則有f（x₁）＜f（x₂），
故由增函數(shù)的定義得f（x₁）-f（x₂）＜x₂-x₁ 故②正確，
③不等式等價為

f(x2)

x2

＜

f(x1)

x1

，則

f(x)

x

的幾何意義為曲線上的點到原點的斜率，由圖象知

f(x2)

x2

＜

f(x1)

x1

不一定成立，③錯誤；
對于④令e=x₁＜x₂=e²，得

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

1

e2-e

＜1，
∵x₀∈（x₁，x₂），∴f（x₀）＞f（x₁）=1，不滿足f(x0)≤

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．故④錯誤．
故答案為②．

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的理解運用能力以及判斷命題真假的方法，如特例法．