Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，若AB=8，DC=2，AD=6

2

，PA=4，∠PAD=45°，且

AO

=

1

3

AD

．
（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)平面PAD與平面PBC所成二面角的大小為θ（0°＜θ≤90°），求cosθ的值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件利用余弦定理求出PO=2

2

，從而得到PO⊥AD，由此能夠證明PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）過O作OE∥AB交BC于E，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)A，OE，OP所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz利用向量法能求出平面PAD與平面PBC所成二面角的大小的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）因為 

AO

=

1

3

AD

，AD=6

2

，
所以AO=2

2

，…（1分）
在△PAO中，由余弦定理PO²=PA²+AO²-2PA•AOcos∠PAO，
得PO2=42+(2

2

)2-2×4×2

2

×

2

2

=8，…（3分）
∴PO=2

2

，∴PO²+AO²=PA²，…（4分）
∴PO⊥AD，…（5分）
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD．…（6分）
（Ⅱ）如圖，過O作OE∥AB交BC于E，則OA，OE，OP兩兩垂直，
以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)A，OE，OP所在直線為x、y、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，…（7分）
則O（0，0，0），A(2

2

，0，0) ， B(2

2

，8，0)，C(-4

2

，2，0)，P(0，0，2

2

)．…（8分）
∴

BC

=(-6

2

，-6，0)，

PB

=(2

2

，8，-2

2

)，…（9分）
設(shè)平面PBC的一個法向量為

n

=（x，y，z），
由

n

•

BC

=0，

n

•

PB

=0，得

-6 2 x-6y=0 2 2 x+8y-2 2 z=0

，
即

y=- 2 x z=-3x

，取x=1，則y=-

2

，z=-3，
∴

n

=(1，-

2

，-3)為平面PBC的一個法向量．…（11分）
∵AB⊥平面PAD，∴

AB

=(0，8，0)為平面PAD的一個法向量．
∴cos?

AB

，n＞=

AB •n

| AB |•|n|

=

8•(- 2 )

8 1+2+9

=-

6

6

，…（12分）
∴cosθ=|cos?

AB

，n＞|=

6

6

．…（13分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．