Question

7．經(jīng)市場調(diào)查，某商品每噸的價格為x（1＜x＜14）百元時，該商品的月供給量為y₁萬噸，y₁=ax+$\frac{7}{2}$a²-a（a＞0）；月需求量為y₂萬噸，y₂=-$\frac{1}{224}$x²-$\frac{1}{112}$x+1．當該商品的需求量大于供給量時，銷售量等于供給量；當該商品的需求量不大于供給量時，銷售量等于需求量．該商品的月銷售額等于月銷售量與價格的乘積．
（1）若a=$\frac{1}{7}$，問商品的價格為多少時，該商品的月銷售額最大？
（2）記需求量與供給量相等時的價格為均衡價格，若該商品的均衡價格不低于每噸6百元，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用商品的月銷售額等于月銷售量與價格的乘積，分類討論，即可求解商品的價格為多少時，該商品的月銷售額最大？
（2）設f（x）=y₁-y₂=ax+$\frac{7}{2}$a²-a-（-$\frac{1}{224}$x²-$\frac{1}{112}$x+1）=$\frac{1}{224}$x²+（$\frac{1}{112}$+a）x+$\frac{7}{2}$a²-a-1，因為a＞0，所以f（x）在區(qū)間（1，14）上是增函數(shù)，若該商品的均衡價格不低于6百元，即函數(shù)f（x）在區(qū)間[6，14）上有零點，即可得出結論．

解答 解：（1）若a=$\frac{1}{7}$，y₁=$\frac{1}{7}$x-$\frac{1}{14}$，
y₂＞y₁，即-$\frac{1}{224}$x²-$\frac{1}{112}$x+1＞$\frac{1}{7}$x-$\frac{1}{14}$，∵1＜x＜14，∴1＜x＜6，月銷售量為y₁=$\frac{1}{7}$x-$\frac{1}{14}$，
商品的月銷售額等于（$\frac{1}{7}$x-$\frac{1}{14}$）x，在（1，6）上單調(diào)遞增，（$\frac{1}{7}$x-$\frac{1}{14}$）x＜$\frac{33}{7}$；
y₂≤y₁，即-$\frac{1}{224}$x²-$\frac{1}{112}$x+1≤$\frac{1}{7}$x-$\frac{1}{14}$，∵1＜x＜14，∴6≤x＜14，月銷售量為y₂=-$\frac{1}{224}$x²-$\frac{1}{112}$x+1，
商品的月銷售額等于y=（-$\frac{1}{224}$x²-$\frac{1}{112}$x+1）x，y′=-$\frac{1}{224}$（x-8）（3x+28），
∴函數(shù)在（6，8）上單調(diào)遞增，（8，14）上單調(diào)遞減，x=8時，取得最大值$\frac{36}{7}$＞$\frac{33}{7}$，
∴商品的價格為8百元時，該商品的月銷售額最大；
（2）設f（x）=y₁-y₂=ax+$\frac{7}{2}$a²-a-（-$\frac{1}{224}$x²-$\frac{1}{112}$x+1）=$\frac{1}{224}$x²+（$\frac{1}{112}$+a）x+$\frac{7}{2}$a²-a-1
因為a＞0，所以f（x）在區(qū)間（1，14）上是增函數(shù)，
若該商品的均衡價格不低于6百元，即函數(shù)f（x）在區(qū)間[6，14）上有零點，
所以f（6）≤0，f（14）＞0，?
所以0＜a≤$\frac{1}{7}$．

點評 本題考查函數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學生利用數(shù)學知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．