Question

在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=2，AB=1．
（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積V；
（Ⅱ）若F為PC的中點，求證：平面PAC⊥平面AEF．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，故，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積V．
（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，知PA⊥CD，由此能證明平面PAC⊥平面AEF．
解答：解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，
∴…（2分）
在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，…（4分）
∵，
…（6分）
證：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD…（7分）
又AC⊥CD，PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC，…（8分）
∵E、F分別是PD、PC的中點，∴EF∥CD
∴EF⊥平面PAC…（10分），
∵EF?平面AEF，
∴平面PAC⊥平面AEF…（12分）
點評：本題考查棱錐的體積的求法，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意合理地化立體問題為平面問題．