Question

4．如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d=0.6km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B．已知AB=1km，水的流速為2km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的時間為6min，則客船在靜水中的速度為（

• A． 6$\sqrt{2}$km/h
• B． 8km/h
• C． 2$\sqrt{34}$km/h
• D． 10km/h

Answer 1

分析 設(shè)客船在靜水中的速度大小為$\overrightarrow{{V}_{靜}}$km/h，水流速度為$\overline{{V}_{水}}$，則$\overrightarrow{{V}_{水}}$=2km/h，則船實(shí)際航行的速度$\overrightarrow{V}$=$\overrightarrow{{V}_{靜}}+\overrightarrow{{V}_{水}}$．t=$\frac{6}{60}$=0.1h，把船在靜水中的速度正交分解為$\overrightarrow{{V}_{靜}}$=$\overrightarrow{{V}_{x}}+\overrightarrow{{V}_{y}}$．利用客船行駛完航程所用最短時間為6分鐘，即可分別得出$\overrightarrow{{V}_{y}}$及$\overrightarrow{{V}_{x}}$．再利用向量的運(yùn)算法則和向量模的計(jì)算公式、即可得出．

解答 解：設(shè)客船在靜水中的速度大小為$\overrightarrow{{V}_{靜}}$km/h，水流速度為$\overline{{V}_{水}}$，
則$\overrightarrow{{V}_{水}}$=2km/h，則船實(shí)際航行的速度$\overrightarrow{V}$=$\overrightarrow{{V}_{靜}}+\overrightarrow{{V}_{水}}$．
t=$\frac{6}{60}$=0.1h，
由題意得|$\overrightarrow{V}$|≤$\frac{AB}{0.1}$=10，
把船在靜水中的速度正交分解為$\overrightarrow{{V}_{靜}}$=$\overrightarrow{{V}_{x}}+\overrightarrow{{V}_{y}}$．
∴|$\overrightarrow{{V}_{y}}$|=$\frac{0.6}{0.1}$=6，
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{{1}^{2}-0．{6}^{2}}$=0.8，
∵|$\overrightarrow{{V}_{x}}+\overrightarrow{{V}_{水}}$|=|$\overrightarrow{{V}_{x}}$|+|$\overrightarrow{{V}_{水}}$|=$\frac{BC}{0.8}$=8，
∴|$\overrightarrow{{V}_{水}}$|=8-2=6，
∴|$\overrightarrow{{V}_{靜}}$|=$\sqrt{|\overrightarrow{{V}_{x}}{|}^{2}+|\overrightarrow{{V}_{y}}{|}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{{V}_{靜}}$=6$\sqrt{2}$km/h．
設(shè)＜$\overrightarrow{{V}_{靜}}，\overrightarrow{{V}_{水}}$＞=θ，則tanθ=$\frac{|\overrightarrow{{V}_{y}}|}{|\overrightarrow{{V}_{x}}|}$=1，∴cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
此時，|$\overrightarrow{V}$|=|$\overrightarrow{{V}_{靜}}+\overrightarrow{{V}_{水}}$|=$\sqrt{|\overrightarrow{{V}_{靜}}{|}^{2}+2\overrightarrow{{V}_{靜}}•\overrightarrow{{V}_{水}}+|\overrightarrow{{V}_{水}}{|}^{2}}$
=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}+2×6\sqrt{2}×2cosθ+{2}^{2}}$=10≤10，滿足條件．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查客船在靜水中的速度的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題，熟練掌握向量的運(yùn)算法則、向量的正交分解和向量模的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．