Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=a_na_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，取到數(shù)，整理得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}}$=1為首項，以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可知：b_n=a_na_n+1=4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），累加即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，則$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}}$=1為首項，以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）×$\frac{1}{2}$，則a_n=$\frac{2}{n+1}$，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\frac{2}{n+1}$；
（2）由b_n=a_na_n+1=$\frac{2}{n+1}$×$\frac{2}{n+2}$=4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
則數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n，
=4[（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）]，
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$），
=$\frac{2n}{n+2}$，
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{2n}{n+2}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查“裂項法”求數(shù)列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．