Question

15．已知二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)為a（a＜0），且1和3是函數(shù)y=f（x）+2x的兩個零點．若方程f（x）+6a=0有兩個相等的根，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 利用1，3是y=f（x）+2x的兩個零點，推出f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax²-（2+4a）x+3a，結(jié)合f（x）+6a═0，有兩個相等的實根，通過△=0求出a，得到函數(shù)的解析式．

解答 解：因為1，3是y=f（x）+2x的兩個零點，且a＜0，所以f（x）+2x=a（x-1）（x-3），
得f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax²-（2+4a）x+3a．①
所以f（x）+6a=ax²-（2+4a）x+9a=0．②----------------------（5分）
又方程②有兩個相等的實根，
所以△=[-（2+4a）]²-4a•9a=0，即5a²-4a-1=0，----------------------------------（8分）
解得a=1（舍去）或a=$-\frac{1}{5}$．------------------------------------------------（10分）
將a=$-\frac{1}{5}$代入①，得f（x）=$-\frac{1}{5}{x^2}-\frac{6}{5}x-\frac{3}{5}$．------------------------------（12分）

點評 本題考查二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．