Question

如圖，在三棱柱中，底面，，，分別是棱，的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且//平面.
（1）求的值；
（2）求證：；
（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）二面角的余弦值為.

試題分析：（1）求的值，關(guān)鍵是找在的位置，注意到平面，有線面平行的性質(zhì)，可得，由已知為中點(diǎn)，由平面幾何知識可得為中點(diǎn)，從而可得的值；（2）求證：，有圖觀察，用傳統(tǒng)方法比較麻煩，而本題由于底面，所以，，又，這樣建立空間坐標(biāo)比較簡單，故以為原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，取，可寫出個點(diǎn)坐標(biāo)，從而得向量的坐標(biāo)，證即可；（3）求二面角的余弦值，由題意可得向量是平面的一個法向量，只需求出平面的一個法向量，可設(shè)平面的法向量，利用，即可求出平面的一個法向量，利用向量的夾角公式即可求出二面角的余弦值．
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045938106507.png" style="vertical-align:middle;" />平面
又平面，平面平面，
所以.                          3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045938153303.png" style="vertical-align:middle;" />為中點(diǎn)，且側(cè)面為平行四邊形
所以為中點(diǎn)，所以.                4分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045938262395.png" style="vertical-align:middle;" />底面，
所以，，                                      5分
又，
如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則由可得                  6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045938995426.png" style="vertical-align:middle;" />分別是的中點(diǎn)，
所以.                                      7分
.                    8分
所以，
所以.                                         9分

（3）設(shè)平面的法向量，則
即                10分
令，則，所以.                11分
由已知可得平面的法向量                    11分
所以                    13分
由題意知二面角為鈍角，
所以二面角的余弦值為.                    14分