Question

6．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₂=-4，S₈=a₈，求數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 根據(jù)條件a₂=-4，S₈=a₈，可解得等差數(shù)列的首項和公差，故a_n=2n-8，S_n=n（n-7）．由a_n≤0解得n≤4，即數(shù)列{a_n}前3項為負數(shù)，第4項為0，從第5項開始為正數(shù)．對n分類討論再利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得T_n．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由S₈=a₈得8a₁+$\frac{8×（8-1）}{2}$d=a₁+7d，則a₁=-3d．
又a₂=a₁+d=-4，∴d=2，a₁=-6．
∴a_n=-6+（n-1）×2=2n-8，S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n[-6+2（n-4）]}{2}$=n（n-7）．
由a_n≤0解得n≤4，即數(shù)列{a_n}前3項為負數(shù)，第4項為0，從第5項開始為正數(shù)．
∴當n≤4時，T_n=-S_n=n（7-n）=-n²+7n，
當n≥5時，T_n=S_n-S₄+（-S₄）=S_n-2S₄=n（n-7）-2×4×（4-7）=n²-7n+24
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+7n，n≤4}\\{{n}^{2}-7n+14，n≥5}\end{array}\right.$

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、絕對值數(shù)列，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．