Question

設等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若S₁₉＞0，S₂₀＜0，且，則在數(shù)列{b_n}的前19項中，最大的項是第________項．

Answer 1

10
分析：由等差數(shù)列的前n項和的公式分別表示出S₁₉＞0，S₂₀＜0，然后再分別利用等差數(shù)列的性質得到a₁₀大于0且a₁₁小于0，得到此數(shù)列為遞減數(shù)列，前10項為正，11項及11項以后為負，由已知的不等式得到數(shù)列的前1項和，前2項的和，…，前19項的和為正，前20項的和，前21項的和，…，的和為負，所以得到b₁₁及以后的各項都為負，即可得到b₁₀為最大項，即可得到n的值．
解答：由S₁₉==19a₁₀＞0，得到a₁₀＞0；由S₂₀==10（a₁₀+a₁₁）＜0，得到a₁₁＜0，
∴等差數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列．
則a₁，a₂，…，a₁₀為正，a₁₁，a₁₂，…為負；S₁，S₂，…，S₁₉為正，S₂₀，S₂₁，…為負，
則＜0，＜0，…，＜0，
又S₁₀＞S₁＞0，a₁＞a₁₀＞0，得到＞＞0，故b₁₀=最大．
故答案為：10．
點評：此題考查學生靈活運用等差數(shù)列的前n項和的公式化簡求值，掌握等差數(shù)列的性質，是一道綜合題．