Question

如圖，在直三棱柱中，平面 側(cè)面且.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若直線AC與平面所成的角為,求銳二面角的大小.

 

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析;（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）取 的中點(diǎn)D，連接AD，由已知條件推導(dǎo)出AD⊥平面，從而，由線面垂直得．由此能證明．（Ⅱ）方法一：連接CD，由已知條件得即為直線與平面所成的角，即為二面角的一個(gè)平面角，由此能求出二面角的大�。�解法二（向量法）：由（1）知且，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，， ，求出平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，則得，解得，即，求出平面的一個(gè)法向量為，設(shè)銳二面角的大小為，則，且， 即可求出銳二面角的大小.

試題解析：解（1）證明：如圖，

取的中點(diǎn)，連接，因，則

由平面側(cè)面，且平面側(cè)面，

得，又平面， 所以.

因?yàn)槿�棱�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021806072520145319/SYS201502180607330298941217_DA/SYS201502180607330298941217_DA.058.png">是直三棱柱，則，所以.

又，從而側(cè)面 ，又側(cè)面，故. -------6分

解法一：連接，由（1）可知，則是在內(nèi)的射影

∴ 即為直線與所成的角，則 在等腰直角中，，且點(diǎn)是中點(diǎn)，∴ ，且，

∴

過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)，連，由（1）知，則，且

∴ 即為二面角的一個(gè)平面角且直角中：，又， ∴ ，

且二面角為銳二面角 ∴ ，即二面角的大小為 ----12分

解法二（向量法）：由（1）知且，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，且設(shè)，則，，，，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，由， 得：

令 ，得 ，則

設(shè)直線與所成的角為，則

得，解得，即

又設(shè)平面的一個(gè)法向量為，同理可得，設(shè)銳二面角的大小為，則

，且，得

∴ 銳二面角的大小為.

考點(diǎn)：1.用空間向量求平面間的夾角；2.空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．