【題目】已知函數,(,為自然對數的底數).
(1)求函數的單調區(qū)間;
(2)若對任意在上總存在兩個不同的,使成立,求的取值范圍.
【答案】(1)當時,單調遞減區(qū)間是;當時,的單調遞減區(qū)間是,單調遞增區(qū)間是;(2).
【解析】
試題分析: (1)首先求出函數的導數,然后根據導數的正負解出不等式得到函數的單調區(qū)間;(2)求出函數的導數,由的正負判斷函數的單調性并求出函數在上的值域,當時, 不合題意; 當時,判斷極值點與端點e的關系,分為時,不合題意;時,在上單調遞減,在上單調遞增,又在上恒成立, 欲使對任意的在上總存在兩個不同的,使成立,則需滿足,即.
試題解析:(1),.
1)當,;
2)當,令,;
綜上:當時,的單調遞減區(qū)間是;
當時,的單調遞減區(qū)間是,單調遞增區(qū)間是.
(2)∵,∴,
∴在內遞增,在內遞減.又∵,,,
∴函數在內的值域為.
由,得.
①當時,,在上單調遞減,不合題意;
②當時,令,則;令,則.
i)當,即時,在上單調遞減,不合題意;
ii)當,即時,在上單調遞減,在上單調遞增.
令,,則,
∴在上單調遞增,在上單調遞減;
∴,即在上恒成立.
令,則,設,,則,
∴在內單調遞減,在上單調遞增,
∴,即,∴,∴,即.
∴當時, ,
且在上連續(xù).
欲使對任意的在上總存在兩個不同的,
使成立,則需滿足,即.
又∵,∴,
∴.綜上所述,.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知甲乙兩名籃球運動員每場比賽得分的原始記錄用如下莖葉圖表示:
(1)按從小到大的順序寫出甲運動員的得分;
(2)分別求甲乙運動員得分的中位數;
(3)估計乙運動員在一場比賽中得分落在內的概率.
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【題目】某公司有一批專業(yè)技術人員,對他們進行年齡狀況和接受教育程度(學歷)的調查,其結果(人數分布)如表:
(1)用分層抽樣的方法在歲年齡段的專業(yè)技術人員中抽取一個容量為的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任取人,求至少有人的學歷為研究生的概率;
(2)在這個公司的專業(yè)技術人員中按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取個人,其中歲以下人,歲以上人,再從這個人中隨機抽取出人,此人的年齡為歲以上的概率為,求的值.
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【題目】已知兩點,,動點與兩點連線的斜率滿足.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)是曲線與軸正半軸的交點,曲線上是否存在兩點,使得是以為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,請說明有幾個;若不存在,請說明理由.
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【題目】某學校為了教職工的住房問題,計劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為的宿舍樓(每層的建筑面積相同).已知土地的征用費為元,土地的征用面積為第一層的倍,經工程技術人員核算,第一層的建筑費用相同都為400元,以后每增高一層,其建筑費用就增加50元.試設計這幢宿舍樓的樓高層數,使總費用最少,并求出其最少費用.(總費用為建筑費用和征地費用之和).
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【題目】如果存在常數,使得數列滿足:若是數列中的一項,則也是數列 中的一項,稱數列為“兌換數列”,常數是它的“兌換系數”.
(1)若數列:是“兌換系數”為的“兌換數列”,求和的值;
(2)已知有窮等差數列的項數是,所有項之和是,求證:數列是“兌換數列”,并用和表示它的“兌換系數”;
(3)對于一個不小于3項,且各項皆為正整數的遞增數列,是否有可能它既是等比數列,又是“兌換數列”?給出你的結論,并說明理由.
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