Question

在△ABC中，A=90°，點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)，在AB、AC邊上分別取P、Q點(diǎn)，使得∠PMQ=90°．求證：
（1）

CQ

•

BP

=

BM

•(

MQ

-

MP

-

BM

)；
（2）|

BP

|2-|

MP

|2=|

MQ

|2-|

CQ

|2．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)，∠PMQ=90°，故

CM

=

MB

，

MQ

•

MP

=0則將向量

CQ

與

BP

用

CM

、

MQ

、

BM

、

MP

表示，通過化簡(jiǎn)整理可證得結(jié)論；
（2）欲證|

BP

|2-|

MP

|2=|

MQ

|2-|

CQ

|2，先證|

BP

|2+|

CQ

|2=|

MP

|2+|

MQ

|2，將向量

CQ

與

BP

用

CM

、

MQ

、

BM

、

MP

表示，結(jié)合（1）可證得結(jié)論．

解答：（本小題滿分12分）
證明：（1）∵

CQ

=

CM

+

MQ

，

BP

=

BM

+

MP

，…（1分）
∴

CQ

•

BM

+

CM

•

MP

+

MQ

•

BM

+

MQ

•

MP

．…（3分）
由

MQ

⊥

MP

，得

MQ

•

MP

=0．又

CM

=

MB

，…（4分）
∴

CQ

•

BP

=-

BM

2-

BM

•

MP

+

MQ

•

BM

，
即

CQ

•

BP

=

BM

•(

MQ

-

MP

-

BM

)． …（6分）
（2）∵|

BP

|2+|

CQ

|2=(

BM

+

MP

)²+（

CM

+

MQ

）²
=2（

BM

2+

BM

•

MP

+

CM

•

MQ

）+（

MP

²+

MQ

²）
=2

BM

（

BM

+

MP

-

MQ

）+（

MP

²+

MQ

²），…（8分）
又

CQ

⊥

BP

，
∴

CQ

•

BP

=0．
由（1），知

BM

•(

MQ

-

MP

-

BM

)=

CQ

•

BP

=0． …（10分）
∴|

BP

|2+|

CQ

|2=

MP

²+

MQ

²=|

MP

|2+|

MQ

|2，
即|

BP

|2-|

MP

|2=|

MQ

|2-|

CQ

|2． …（12分）
（注：本題的兩小題有多種解法，如建立直角坐標(biāo)系，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解，等等．請(qǐng)參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)精神給分）

點(diǎn)評(píng)：本題忽悠考查了向量在幾何中應(yīng)用，以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．