Question

已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且AB=l，BC=4，則邊AC上的中線BD的長為

21

2

．

Answer 1

分析：取AC的中點D，連接BD，由三角形的三內(nèi)角成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到2B=A+C，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠ABC的度數(shù)，進(jìn)而得到sin∠ABC及cos∠ABC的值，在三角形ABC中，由AB，BC及cos∠ABC的值，利用余弦定理求出AC的值，進(jìn)而由AC，AB及sin∠ABC的值，利用正弦定理求出sinC的值，由AB小于BC，得到∠C為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosC的值，在三角形BCD中，由BC，cosC及CD的值，利用余弦定理即可求出AC邊上的中線BD的長．

解答：
解：取AC的中點D，連接BD，
∵△ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C，又A+B+C=180°，
∴∠ABC=60°，AB=1，BC=4，
根據(jù)余弦定理得：AC=

AB2+BC2-2AC•BC•cosB

=

13

，
又根據(jù)正弦定理得：

AB

sinC

=

AC

sin∠ABC

，即sinC=

1× 3 2

13

=

39

26

，
又AB=1＜BC=4，∴∠C為銳角，
∴cosC=

1-sin2C

=

637

26

，
在△BCD中，BC=4，CD=

1

2

AC=

13

2

，
根據(jù)余弦定理得：BD=

BC2+CD2-2BC•CD•cosC

=

21

2

．
故答案為：

21

2

點評：此題考查了正弦、余弦定理，等差數(shù)列的性質(zhì)，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，三角形的邊角關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．