【題目】已知函數f(x)= ,g(x)=x2+2mx+
(1)用定義法證明f(x)在R上是增函數;
(2)求出所有滿足不等式f(2a﹣a2)+f(3)>0的實數a構成的集合;
(3)對任意的實數x1∈[﹣1,1],都存在一個實數x2∈[﹣1,1],使得f(x1)=g(x2),求實數m的取值范圍.
【答案】
(1)證明:f(x)的定義域為R,設x1、x2是R上任意兩個值,且x1<x2,則 ,
∵x1<x2,∴ , , ,∴f(x1)﹣f(x2)<0,
∴f(x)在R上是增函數
(2)解:∵ ,∴f(x)在R上是奇函數,
∵f(2a﹣a2)+f(3)>0,∴f(3)>﹣f(2a﹣a2)=f(a2﹣2a),
又∵f(x)在R上是增函數,∴a2﹣2a<3,
解得﹣1<a<3,∴所求實數a構成的集合為 {a|﹣1<a<3}
(3)解:∵f(x)在R上是增函數,∴當x1∈[﹣1,1]時,f(x1)∈[f(﹣1),f(1)],即 .
設g(x)在[﹣1,1]上的值域為B,則由題意可知AB.
∵ ,∴ ,解得 或 ,
①當 時,函數g(x)在[﹣1,1]上為減函數,所以 ;
由AB得 ,解得 .
②當 時,函數g(x)在[﹣1,1]上為增函數,所以 ,
由AB得 ,解得 .
綜上可知,實數m的取值范圍為 或
【解析】(1)設x1、x2是R上任意兩個值,且x1<x2 , 求得∴f(x1)﹣f(x2)<0,可得f(x)在R上是增函數.(2)先證明f(x)為奇函數,不等式即f(3)>﹣f(2a﹣a2)=f(a2﹣2a),再利用f(x)在R上是增函數 可得a2﹣2a<3,由此求得a的范圍.(3)利用f(x)的單調性求得A,設g(x)在[﹣1,1]上的值域為B,則由題意可知AB,分類討論求得B,從而求得實數m的取值范圍.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識,掌握單調性的判定法:①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大。虎圩鞑畋容^或作商比較,以及對函數單調性的性質的理解,了解函數的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.
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【題目】【2016高考山東理數】平面直角坐標系中,橢圓C: 的離心率是,拋物線E:的焦點F是C的一個頂點.
(I)求橢圓C的方程;
(II)設P是E上的動點,且位于第一象限,E在點P處的切線與C交與不同的兩點A,B,線段AB的中點為D,直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M.
(i)求證:點M在定直線上;
(ii)直線與y軸交于點G,記的面積為,的面積為,求 的最大值及取得最大值時點P的坐標.
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【題目】已知以點C為圓心的圓經過點A(﹣1,0)和B(3,4),且圓心在直線x+3y﹣15=0上.
(1)求圓C的方程;
(2)設點P在圓C上,求△PAB的面積的最大值.
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【題目】已知△ABC的頂點A(5,1),AB邊上的中線CM所在直線方程為2x﹣y﹣5=0,AC邊上的高BH所在直線方程為x﹣2y﹣5=0.求:
(1)頂點C的坐標;
(2)直線BC的方程.
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【題目】如圖半圓柱的底面半徑和高都是1,面是它的軸截面(過上下底面圓心連線的平面),分別是上下底面半圓周上一點.
(1)證明:三棱錐體積,并指出和滿足什么條件時有
(2)求二面角平面角的取值范圍,并說明理由.
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【題目】設橢圓的右焦點為,離心率為,過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若上存在兩點,橢圓上存在兩個點滿足: 三點共線, 三點共線且,求四邊形的面積的最小值.
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【題目】已知數列的前項和為,且,又數列滿足: .
(1)求數列的通項公式;
(2)當為何值時,數列是等比數列?此時數列的前項和為,若存在,使m<成立,求的最大值.
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