Question

f(x)=

3

cos2

1

2

x+sin

1

2

xcos

1

2

x．
（Ⅰ）將f（x）化為Asin（ωx+?）+k(ω＞0，0＜φ＜

π

2

)的形式；
（Ⅱ）寫(xiě)出f（x）的最值及相應(yīng)的x值；
（Ⅲ）若-

π

3

＜α＜

π

6

，且f(α)=

3

5

+

3

2

，求cos2α．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理可得結(jié)果．
（II）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值和相應(yīng)的x的值．
（III）根據(jù)題意可得sin(α+

π

3

)=

3

5

，結(jié)合α的范圍可得cos(α+

π

3

)=

4

5

，再根據(jù)二倍角公式計(jì)算出sin(2α+

2π

3

)與 cos(2α+

2π

3

)，再根據(jù)cos2α=cos[(2α+

2π

3

)-

2π

3

]結(jié)合兩角和公式求出答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：f(x)=

3

cos2

1

2

x+sin

1

2

xcos

1

2

x
=

3

•

1+cosx

2

+

1

2

sinx
=sin(x+

π

3

)+

3

2

．
（Ⅱ）當(dāng)x+

π

3

=2kπ-

π

2

，k∈Z即x=2kπ-

5π

6

，k∈Z時(shí)，
所以當(dāng)x=2kπ-

5π

6

，k∈Z時(shí)f（x）得到最小值-1+

3

2

．
當(dāng)x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z即x=2kπ+

π

6

，k∈Z
所以當(dāng)x=2kπ+

π

6

，k∈Z時(shí)，f（x）得到最大值1+

3

2

．
（Ⅲ）由題意可得：因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f(α)=sin(α+

π

3

)+

3

2

=

3

5

+

3

2

所以sin(α+

π

3

)=

3

5

∵-

π

3

＜α＜

π

6

，
∴0＜α+

π

3

＜

π

2

，
∴cos(α+

π

3

)=

4

5

∴sin(2α+

2π

3

)=2sin(α+

π

3

)•cos(α+

π

3

)=

24

25

cos(2α+

2π

3

)=2cos2(α+

π

3

)-1=

7

25

∴cos2α=cos[(2α+

2π

3

)-

2π

3

]
=cos(2α+

2π

3

)cos

2π

3

+sin(2α+

2π

3

)sin

2π

3

=

24 3 -7

50

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用兩角和公式，二倍角公式和誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，以及三角函數(shù)的性質(zhì)等．