Question

函數(shù)f（x）=x³，在等差數(shù)列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，記Sn=f(

3	an+1

)，令b_n=a_nS_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n
（1）求{a_n}的通項公式和S_n
（2）求證Tn＜

1

3

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，利用a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，建立方程，從而可求數(shù)列的首項與公差，進(jìn)而可得數(shù)列的通項，利用f（x）=x³，可得S_n；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項，利用裂項法求和，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，
∴a₁+2d=7，3a₁+3d=12
解得a₁=1，d=3，∴a_n=3n-2
∵f（x）=x³
∴Sn=f(

3	an+1

)=a_n+1=3n+1             （6分）
（2）證明：∵b_n=a_nS_n=（3n-2）（3n+1）
∴

1

bn

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)Tn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

3

(1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…+

1

3n-2

-

1

3n+1

)
∴Tn=

1

3

(1-

1

3n+1

)＜

1

3

（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查基本量法的運用，考查裂項法求和，屬于中檔題．