Question

已知函數(shù)y=

x

x-1

，給出下列四個(gè)命題：
（1）函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱；
（2）函數(shù)圖象關(guān)于直線y=2-x對(duì)稱；
（3）函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；
（4）將函數(shù)圖象向左平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位后與函數(shù)y=

1

x

的圖象重合；
其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為

（3）

．

Answer 1

分析：將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)得到y=1+

1

x-1

，利用與函數(shù)y=

1

x

的圖象關(guān)系，進(jìn)行分別判斷．

解答：解：函數(shù)y=

x

x-1

=1+

1

x-1

．
（1）因?yàn)楹瘮?shù)y=

1

x

的對(duì)稱中心是（0，0），所以函數(shù)y=

x

x-1

的對(duì)稱中心是（1，1），所以正確．
（2）設(shè)函數(shù)圖象的任意一點(diǎn)為（x，y），則點(diǎn)關(guān)于直線y=2-x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2-y，2-x），則點(diǎn)（2-y，2-x）滿足函數(shù)y=

x

x-1

，所以（2）正確．
（3）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，所以函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，所以（3）錯(cuò)誤．
（4）將函數(shù)圖象向左平移一個(gè)單位，得到y=1+

1

x+1-1

=1+

1

x

，然后再向下平移一個(gè)單位后，得到y=1+

1

x

-1=

1

x

，所以（4）正確．
故答案為：（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分式函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握分式函數(shù)的變化技巧，分子常數(shù)化是解決分式函數(shù)最常用的方法．