Question

給出下列命題：
①“x=2”是“x²=4”的充分不必要條件；
②設(shè)A={x||x|≤3}，B={y|y=-x²+t}，若A∩B=∅，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為[3，+∞）；
③若log₂x+log_x2≥2，則x＞1；
④存在x，y∈R，使sin（x-y）=sinx-siny；
⑤若命題P：對任意的x∈R，函數(shù)y=cos(2x-

π

3

)的遞減區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

](k∈Z)，命題q：存在x∈R，使tanx=1，則命題“p且q”是真命題．
其中真命題的序號為

①③④

．

Answer 1

分析：根據(jù)充要條件的定義，可以判斷①的真假；
解絕對值不等式求出A，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以求出B，進(jìn)而根據(jù)集合交集的定義，可判斷②的真假；
根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及基本不等式，可以判斷③的真假；
令x=y=0時(shí)，可判斷④的真假；
根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，可以判斷⑤的真假．

解答：解：當(dāng)“x=2”時(shí)，“x²=4”成立，當(dāng)“x²=4”時(shí)，“x=±2”故“x=2”不一定成立，即①“x=2”是“x²=4”的充分不必要條件正確；
A={x||x|≤3}=[-3，3]，B={y|y=-x²+t}=（-∞，t]，若A∩B=φ，則實(shí)數(shù)t的取值范圍（-∞，-3），故②錯(cuò)誤；
當(dāng)x＞1時(shí)，log₂x＞0，log_x2＞0，log₂x+log_x2≥2

log2x•logx2

=2，但0＜x＜1時(shí)，log₂x＜0，log_x2＜0，log₂x+log_x2≤-2

log2x•logx2

=-2，
故log₂x+log_x2≥2時(shí)，x＞1，即③正確；
當(dāng)x=y=0時(shí)，sin（x-y）=sin（0）=0=sin0-sin0=0，故④正確；
命題P：由2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π（k∈Z），得x∈[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)，故對任意的x∈R，函數(shù)y=cos(2x-

π

3

)的遞減區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

](k∈Z)是假命題，則命題“p且q”是假命題，故⑤錯(cuò)誤
故答案為：①③④

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是命題的真假判斷，充要條件，不等式的解法，集合的運(yùn)算，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，基本不等式，正弦函數(shù)的定義，及余弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握上述基本知識點(diǎn)是解答的關(guān)鍵．