Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AA₁=2．
(Ⅰ)求證：C₁D∥平面ABB₁A₁；
(Ⅱ)求直線BD₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值；
(Ⅲ)求二面角D-A₁C₁-A的余弦值。

Answer 1

(Ⅰ)證明：四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1， 又CC1面ABB1A1，所以CC1∥平面ABB1A1， ABCD是正方形，所以CD∥AB， 又CD面ABB1A1，所以CD∥平面ABB1A1， 所以平面CDD1C1∥平面ABB1A1， 所以，C1D∥半面ABB1A1。

(Ⅱ)解：ABCD是正方形，AD⊥CD， 因為A1D⊥平面ABCD，所以A1D⊥AD，A1D⊥CD， 如圖，以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz， 在△ADA1中，由已知可得A1D=， 所以，D(0，0，0)， A1(0，0，)，A(1，0，0)，C1（-1，1，）， B1(0，1，)，D(-1，0，)，B(1，1，0)，， 因為A1D⊥平面ABCD， 所以，A1D⊥平面A1B1C1D1，A1D⊥B1D1， 又B1D1⊥A1C1， 所以，B1D1⊥平面A1C1D， 所以平面A1C1D的一個法向量為n=(1，1，0)， 設與n所成的角為β， 則， 所以直線BD1與平面A1C1D所成角的正弦值為。 (Ⅲ)解：設平面A1C1A的法向量為m=（a，b，c）， 則， 所以，， 令，可得， 設二面角D-A1C1-A的大小為α， 則， 所以，二面角D-A1C1-A的余弦值為。