Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|．
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3
（2）如果?x∈R，f（x）≥2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=-1，由絕對值的意義求得不等式f（x）≥3的解集．
（2）由條件利用絕對值的意義求得函數(shù)f（x）的最小值為|a-1|，可得|a-1|=2，由此求得a的值．

解答 解：（1）若a=-1，函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|=|x-1|+|x+1|，表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到1、-1對應(yīng)點的距離之和，
而-1.2和 1.5 對應(yīng)點到1、-1對應(yīng)點的距離之和正好等于3，
故不等式f（x）≥3的解集為{x|≤-1.5，或 x≥1.5}．
（2）由于?x∈R，f（x）≥2，故函數(shù)f（x）的最小值為2．
函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到1、a對應(yīng)點的距離之和，它的最小值為|a-1|，
即|a-1|=2，求得a=3 或a=-1．

點評 本題主要考查絕對值的意義，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．