Question

（本題滿分12分）已知橢圓=1（a＞b＞0）的離心率e=，過點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與坐標(biāo)原點(diǎn)距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)，試判斷是否存在k值，使以CD為直徑的圓過定點(diǎn)E？若存在求出這個(gè)k值，若不存在說明理由.

 

Answer 1

（1）（2）存在。

【解析】

試題分析：（1）先由兩點(diǎn)式求出直線方程，再根據(jù)離心率和點(diǎn)到直線距離公式列出方程解出，即可求得；（2）假設(shè)存在這樣的直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，得到x的一元二次方程，求出兩根之和和兩根之積，要使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E，當(dāng)且僅當(dāng)CE⊥DE時(shí)，則，再利用y=kx+2，將上式轉(zhuǎn)化，最后求得，并驗(yàn)證。

試題解析：（1）直線AB方程為：bx-ay-ab＝0

依題意 解得

∴ 橢圓方程為

（2）假設(shè)存在這樣的k值，由得

∴ ①

設(shè)， ，，則 ②

而 8分

要使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E（-1，0），當(dāng)且僅當(dāng)CE⊥DE時(shí)，則，即

∴ ③

將②式代入③整理解得 經(jīng)驗(yàn)證，，使①成立

綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點(diǎn)E 。

考點(diǎn)：1、橢圓的相關(guān)知識(shí)；2、直線與橢圓的相交問題。