Question

15．若二次函數(shù)滿足f（x+1）-f（x）=2x+3，且f（0）=3
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-kx，求g（x）在[0，2]的最小值ϕ（k）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=3得c=3，由f（x+1）-f（x）=2x+3，得2ax+a+b=2x+3，解方程組求出a，b的值，從而求出函數(shù)的解析式；
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+3的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{k-2}{2}$為對稱軸的拋物線，分類討論給定區(qū)間與對稱軸的關(guān)系，可得不同情況下ϕ（k）的表達(dá)式．

解答 解：設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=3得c=3，
故f（x）=ax²+bx+3．
因為f（x+1）-f（x）=2x+3，
所以a（x+1）²+b（x+1）+3-（ax²+bx+3）=2x+3．
即2ax+a+b=2x+3，
∴$\left\{\begin{array}{l}2a=2\\ a+b=3\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x+3…4分；
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+3的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{k-2}{2}$為對稱軸的拋物線，
當(dāng)$\frac{k-2}{2}$＜0，即k＜2時，當(dāng)x=0時，g（x）取最小值3；
當(dāng)0≤$\frac{k-2}{2}$≤2，即2≤k≤6時，當(dāng)x=$\frac{k-2}{2}$時，g（x）取最小值$\frac{-{k}^{2}+4k+8}{4}$；
當(dāng)$\frac{k-2}{2}$＞2，即k＞6時，當(dāng)x=2時，g（x）取最小值11-2k；
綜上可得：ϕ（k）=$\left\{\begin{array}{l}3，k＜2\\ \frac{-{k}^{2}+4k+8}{4}，2≤k≤6\\ 11-2k，k＞6\end{array}\right.$，…12分．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．