Question

7．已知數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S₅=20，a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n+1=b_n+a_n，且b₁=1，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用“累加求和”與“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）由題可知，${a_1}•{a_7}={a_3}^2$，得a₁=2d…（2分）
因?yàn)镾₅=20，所以a₃=4，所以a₁=2，d=1…（4分）
所以a_n=n+1…（6分）
（2）由（1）可知，b_n+1-b_n=n+1，
所以：b₂-b₁=2，b₃-b₂=3，b₄-b₃=4，…，b_n-b_n-1=n．
由累加法可得：${b_n}=\frac{n（n+1）}{2}$，所以$\frac{1}{b_n}=\frac{2}{n（n+1）}=2（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$…（9分）
所以T_n=2$[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=2$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2n}{n+1}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“累加求和”與“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．