Question

5．以直角坐標(biāo)系xOy的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中的單位長度相同．已知點A的極坐標(biāo)為（${\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}}$），曲線C在直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cost\\ y=\sqrt{2}sint\end{array}$（t為參數(shù)），曲線C在點A處的切線為l．
（1）求切線l的極坐標(biāo)方程；
（2）已知點P直角坐標(biāo)為（-$\frac{1}{4}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$），過點P任作一直線交曲線C于A，B兩點，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）化參數(shù)方程與普通方程，求出圓的圓心與半徑，求出切線的斜率，然后求解切線方程，轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程．
（2）OP⊥AB時，|AB|取得最小值，此時|OP|=$\frac{1}{2}$，即可求出|AB|的最小值．

解答 解：（1）因為曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cost\\ y=\sqrt{2}sint\end{array}$（t為參數(shù)），
所以其普通方程為x²+y²=2，即曲線C為以原點為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓．…（5分）
由于點A（${\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}}$），即（1，1）在圓上，且該圓過（1，1）點的半徑的斜率為1，
所以切線l的斜率為-1，其普通方程為x+y-2=0，
化為極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ=2；
（2）OP⊥AB時，|AB|取得最小值，此時|OP|=$\frac{1}{2}$，|AB|的最小值=2$\sqrt{2-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{6}$．

點評 本題考查參數(shù)方程與普通方程以及極坐標(biāo)方程的互化，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力．