Question

19．函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且有3xf（x）+x²f（x）＜0，則不等式（x+2016）³f（x+2016）+27f（-3）＞0的解集（　�。�

• A． （-2018，-2016）
• B． （-∞，-2016）
• C． （-2019，-2016）
• D． （-∞，-2019）

Answer 1

分析 先構(gòu)造函數(shù)g（x）=x³f（x），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系得到g（x）在（-∞，0）為增函數(shù)，由（x+2016）³f（x+2016）+274f（-3）＞0得到g（x+2016）＞g（-3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出答案．

解答 解：令g（x）=x³f（x），
∴g′（x）=3x²f（x）+x³f′（x），
∵3f（x）+x²f′（x）＜0，
x＜0時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）為增函數(shù)，
∵（x+2016）³f（x+2016）+27f（-3）＞0，
∴（x+2016）³f（x+2016）＞（-3）³f（-3），
即g（x+2016）＞g（-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2016＜0}\\{x+2016＞-3}\end{array}\right.$，
解得：-2019＜x＜-2016，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)的求法，而構(gòu)造函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．