在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若
AB
•
AC
=
BA
•
BC
=1．
（Ⅰ）求證：A=B；
（Ⅱ）求邊長(zhǎng)c的值；
（Ⅲ）若|
AB
+
AC
|=
6
，求△ABC的面積．
分析：（1）由|
AB
|=a，|
AC
|=b，|
BC
|=b故可將•
AC
=
BA
•
BC
=1轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角方程，解方程即可證明：A=B
（2）由（1）的結(jié)論，再結(jié)合余弦定理，可構(gòu)造一個(gè)關(guān)于c的方程，解方程易求c值．
（3）若|
AB
+
AC
|=
6
平方后，結(jié)合余弦定理，可以判斷三角形的形狀，再結(jié)合（2）的結(jié)論，即可求△ABC的面積．
解答：解：（Ⅰ）∵
AB
•
AC
=
BA
•
BC
．
∴bccosA=accosB，即bcosA=acosB
由正弦定理得sinBcosA=sinAcosB
∴sin（A-B）=0
∵-π＜A-B＜π
∴A-B=0，∴A=B
（Ⅱ）∵
AB
•
AC
=1，∴bccosA=1
由余弦定理得bc•
b2+c2-a2
2bc
=1，即b2+c2-a2=2
∵由（Ⅰ）得a=b，∴c2=2，∴c=
2

（Ⅲ）∵|
AB
+
AC
|=
6
，∴|
AB
|2+|
AC
|2+2|
AB
•
AC
|=6
即c2+b2+2=6
∴c2+b2=4
∵c2=2
∴b2=2，b=
2

∴△ABC為正三角形
∴S△ABC=
3
4
×（
2
）2=
3
2
點(diǎn)評(píng)：（1）中在判斷三角形形狀時(shí)，要注意對(duì)角的范圍進(jìn)行分析，即求角的大小需要兩個(gè)條件：該角的一個(gè)三角函數(shù)值和該角的范圍，缺一不可．（2）正、余弦定理是解三解形必用的數(shù)學(xué)工具，正弦定理一般用于已知兩角一邊及兩邊和其中一邊對(duì)角的情況，余弦定理一般用于已知三邊及兩邊和其夾角的情況．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b2+c2-a2=
3
bc，且b=
3
a，則下列關(guān)系一定不成立的是（　�。�
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=-
1114
．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且bsinA=
3
acosB．
（1）求角B的大��；
（2）若a=4，c=3，D為BC的中點(diǎn)，求△ABC的面積及AD的長(zhǎng)度．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c并且滿足
b
a
=
sinB
cosA
．
（1）求∠A的值；
（2）求用角B表示
2
sinB-cosC，并求它的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且a=
5
，b=3，sinC=2sinA，則sinA=
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案