(2013•安徽)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有兩個極值點x1,x2,若f(x1)=x1<x2,則關(guān)于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同實根個數(shù)為( 。
分析:由函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有兩個極值點x1,x2,可得f(x)=3x2+2ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根,必有△=4a2-12b>0.而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0,可知此方程有兩解且f(x)=x1或x2.再分別討論利用平移變換即可解出方程f(x)=x1或f(x)=x2解得個數(shù).
解答:解:∵函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有兩個極值點x1,x2,
∴f(x)=3x2+2ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根,
∴△=4a2-12b>0.解得x=
-2a±
4a2-12b
6
=
-a±
a2-3b
3

∵x1<x2,∴x1=
-a-
a2-3b
3
,x2=
-a+
a2-3b
3

而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0,∴此方程有兩解且f(x)=x1或x2
不妨取0<x1<x2,f(x1)>0.
①把y=f(x)向下平移x1個單位即可得到y(tǒng)=f(x)-x1的圖象,∵f(x1)=x1,可知方程f(x)=x1有兩解.
②把y=f(x)向下平移x2個單位即可得到y(tǒng)=f(x)-x2的圖象,∵f(x1)=x1,∴f(x1)-x2<0,可知方程f(x)=x2只有一解.
綜上①②可知:方程f(x)=x1或f(x)=x2.只有3個實數(shù)解.即關(guān)于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的只有3不同實根.
故選A.
點評:本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)得單調(diào)性、極值及方程解得個數(shù)、平移變換等基礎(chǔ)知識,考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法、推理能力、分類討論的思想方法、計算能力、分析問題和解決問題的能力.
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x2
a2
+
y2
b2
(a>b>0)的焦距為4,且過點P(
2
,
3
).
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(Ⅱ)設(shè)Q(x0,y0)(x0y0≠0)為橢圓C上一點,過點Q作x軸的垂線,垂足為E.取點A(0,2
2
),連接AE,過點A作AE的垂線交x軸于點D.點G是點D關(guān)于y軸的對稱點,作直線QG,問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點?并說明理由.

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