Question

17．已知直角三角形的周長(zhǎng)為4．求這個(gè)直角三角形面積的最大值．并求此時(shí)各邊的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 設(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，因?yàn)長(zhǎng)=a+b+c，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，兩次運(yùn)用均值不等式即可求解．

解答 解：直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，面積為S，周長(zhǎng)L=4，
由于a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=4≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$．（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）
∴$\sqrt{ab}$≤4-2$\sqrt{2}$．
∴S=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{2}$（4-2$\sqrt{2}$）²=12-8$\sqrt{2}$
∴這個(gè)直角三角形面積的最大值為12-8$\sqrt{2}$，各邊的長(zhǎng)為a=b=4-2$\sqrt{2}$，c=4$\sqrt{2}$-4．

點(diǎn)評(píng) 利用均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，列出有關(guān)量的函數(shù)關(guān)系式或方程式是均值不等式求解或轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵．