Question

8．某品牌空調(diào)企業(yè)為擴(kuò)大投資效益．決定成立科研課題組來研發(fā)一種新產(chǎn)品．根據(jù)分析和預(yù)測．新產(chǎn)品若研發(fā)成功，可獲得10萬元-1000萬元的投資收益，與此同時，企業(yè)擬制訂方案對課題組進(jìn)行獎勵，獎勵方案是通過獎金y（單位：萬元）與投資收益x（單位：萬元）的模擬函數(shù)來進(jìn)行，要求模擬函數(shù)y=f（x）所滿足的條件是：（i）y=f（x）在[10，1000]上是增函數(shù)；（ii）f（x）≤9；（iii）f（x）≤$\frac{1}{5}$x．
（1）試分析下列模擬函數(shù)中哪個符合獎勵方案的要求？并說明你的理由．
①f（x）=-（x-10）³+9；②f（x）=4e^x+9；③f（x）=4lgx-3．
（2）對于（1）中符合獎勵方案要求的模擬函數(shù)f（x），若使得f（x）＜kx-3在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①通過f（x）=-（x-10）³+9在[10，1000]上單調(diào)遞減可排除，②通過f（x）=4e^x+9在[10，1000]上單調(diào)遞增，且最大值大于9可排除，③易知f（x）=4lgx-3在[10，1000]上單調(diào)遞增，且最大值為9，通過令g（x）=4lgx-3-$\frac{1}{5}$x，并利用導(dǎo)數(shù)可知g（x）在[10，1000]上單調(diào)遞減，進(jìn)而可知g（x）＜0，從而4lgx-3＜$\frac{1}{5}$x；
（2）通過（1）可知f（x）＜kx-3在（0，+∞）上恒成立，即t（x）=$\frac{4lgx}{x}$＜k在（0，+∞）上恒成立，通過求導(dǎo)可知t（x）=$\frac{4lgx}{x}$在x=e時取最大值，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（1）結(jié)論：下列模擬函數(shù)中③符合獎勵方案的要求．
理由如下：①∵f（x）=-（x-10）³+9在[10，1000]上單調(diào)遞減，
∴與y=f（x）在[10，1000]上是增函數(shù)矛盾，故排除；
②∵f（x）=4e^x+9在[10，1000]上單調(diào)遞增，
∴f（x）的最大值為f（1000），顯然與f（x）≤9矛盾，故排除；
③易知f（x）=4lgx-3在[10，1000]上單調(diào)遞增，
且f（1000）=4lg10³-3=9，
令g（x）=4lgx-3-$\frac{1}{5}$x，則g′（x）=$\frac{4}{x}$•$\frac{1}{ln10}$-$\frac{1}{5}$，
又∵當(dāng)x∈[10，1000]時$\frac{4}{x}$≤$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$，且$\frac{1}{ln10}$＜$\frac{1}{ln{e}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴g′（x）＜0，即g（x）在[10，1000]上單調(diào)遞減，
∴g（x）≤g（10）=4lg10-3-2=-1＜0，
∴4lgx-3＜$\frac{1}{5}$x，
∴模擬函數(shù)f（x）=4lgx-3滿足符合獎勵方案；
（2）由（1）可知f（x）＜kx-3在（0，+∞）上恒成立，
∴4lgx-3＜kx-3在（0，+∞）上恒成立，
即4lgx＜kx在（0，+∞）上恒成立，
即$\frac{4lgx}{x}$＜k在（0，+∞）上恒成立，
記t（x）=$\frac{4lgx}{x}$，則t′（x）=4•$\frac{\frac{1}{xln10}•x-lgx}{{x}^{2}}$=$\frac{lge-lgx}{{x}^{2}}$，
令t′（x）=0，可知x=e，
∴t（x）≤t（e）=4•$\frac{lge}{e}$=$\frac{4lge}{e}$，
∴實數(shù)k的取值范圍是[$\frac{4lge}{e}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意解題方法的積累，屬于中檔題．