Question

7．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線點(diǎn)參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1-tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t$為參數(shù)$α∈（0，\frac{π}{2}）$）以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．
（1）若直線l與曲線C有且一個(gè)公共點(diǎn)M，求點(diǎn)M的直角坐標(biāo)；
（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，求直線l的普通方程．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，代入可得C的直角坐標(biāo)方程．把直線l的參數(shù)方程代入上式并整理得t²+6tcosα+5=0．令△=0，解出即可得出點(diǎn)M的直角坐標(biāo)．
（2）設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=-6cosα．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，代入可得C的直角坐標(biāo)方程為：x²-4x+y²=0，即（x-2）²+y²=4．
把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=-1-tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t$為參數(shù)$α∈（0，\frac{π}{2}）$）代入上式并整理得t²+6tcosα+5=0．
令△=（6cosα）²-20=0，解得cosα=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，sinα=$\frac{2}{3}$，t=-$\sqrt{5}$．
∴點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{3}$）．
（2）設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=-6cosα．
線段AB的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為$\frac{1}{2}$（t₁+t₂）=-3cosα．
則-1+3cos²α=$\frac{1}{2}$，解得cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，α=$\frac{π}{4}$．
∴直線l的普通方程為x-y+1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．