Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-3x+（a-1）lnx$，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（2）若對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，函數(shù)h（x）滿足$\frac{{h（{x_1}）-h（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞-1$，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，令h′（x）＞0求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，f′（x）＜0即可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，即可求出函數(shù)極值，
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出a的范圍

解答 解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，$h（x）=\frac{1}{2}{x^2}+2lnx-3x$，x＞0，
∴${h^'}（x）=x+\frac{2}{x}-3=\frac{（x-1）（x-2）}{x}$，
當(dāng)h′（x）＞0時(shí)，解得0＜x＜1或x＞2，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)h′（x）＜0時(shí)，解得1＜x＜2，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1），（2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（1，2）
函數(shù)h（x）在x=1處取得極大值$-\frac{5}{2}$，在x=2處取得極小值2ln2-4．
（2）由題意，$h（x）=\frac{1}{2}{x^2}+（a-1）lnx-ax（a＞1）$
不妨設(shè)x₁＜x₂，則由$\frac{{h（{x_1}）-h（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞-1$得h（x₁）+x₁＜h（x₂）+x₂
令$F（x）=h（x）+x=\frac{1}{2}{x^2}+（a-1）lnx-ax+x$，
則函數(shù)F（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
${F^'}（x）=x-（a-1）+\frac{a-1}{x}=\frac{{{x^2}-（a-1）x+a-1}}{x}≥0$在（0，+∞）恒成立
即G（x）=x²-（a-1）x+a-1≥0在（0，+∞）恒成立，
∵G（0）=a-1＞0，$\frac{a-1}{2}＞0$，
因此，只需△=（a-1）²-4（a-1）≤0，解得1＜a≤5
故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為1＜a≤5．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及極值，考查構(gòu)造法求函數(shù)的單調(diào)性，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．