Question

如圖，雙曲線(xiàn)C：（a＞0，b＞0）的漸近線(xiàn)為l₁，l₂，離心率為，P₁∈l₁，P₂∈l₂，且，（λ＞0），P在雙曲線(xiàn)C右支上．
（1）若△P₁OP₂的面積為6，求t的值；
（2）t=5時(shí)，求a最大時(shí)雙曲線(xiàn)C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，由e==可求得b=a，設(shè)雙曲線(xiàn)C：-=1（a＞0，b＞0）的漸近線(xiàn)l₁：y=x的傾斜角為θ，可求得tanθ=，tan∠P₁OP₂=tan2θ=，繼而可求得cos2θ=，sin2θ=，由•=t，=6即可求得t．
（2）t=5時(shí)，可求得||•||=13，利用余弦定理可求得|P₁P₂|，再利用基本不等式可求得|P₁P₂|≥16，最后利用即可求得a最大時(shí)的值，從而可求得此時(shí)雙曲線(xiàn)C的方程．
解答：解：（1）依題意，e==，
∴e²===，a＞0，b＞0，
∴b=a，設(shè)雙曲線(xiàn)C：-=1（a＞0，b＞0）的漸近線(xiàn)l₁：y=x的傾斜角為θ，
則tanθ=，tan∠P₁OP₂=tan2θ=，
∴cos2θ=，sin2θ=；
∵•=||•||•cos∠P₁OP₂=||•||×=t，
=||•||•sin∠P₁OP₂=||•||×=6
∴||•||=13．
∴t=||•||×=13×=5．
（2）∵t=||•||×=5，
∴||•||=13．
∴由余弦定理得：=+-2||•||cos∠P₁OP₂
≥2||•||（1-cos∠P₁OP₂）
=2×13×=16（當(dāng)且僅當(dāng)||=||時(shí)取“=”）．
∴|P₁P₂|≥4（當(dāng)且僅當(dāng)||=||時(shí)取“=”）．
∵=λ（λ＞0），
∴P₂、P、P₁三點(diǎn)共線(xiàn)，又P在雙曲線(xiàn)C右支上，
∵=||•||•sin∠P₁OP₂=||•||×=6，
又=|P₁P₂|•h（h為原點(diǎn)O到直線(xiàn)P₁P₂的距離），
∴當(dāng)||=||=時(shí)，|P₁P₂|取得最小值4，h取到最大值，此時(shí)h=a，即雙曲線(xiàn)C的方程中的a取到最大值．
∴×4a=6，
∴a=3，b=2．
∴雙曲線(xiàn)的方程為：-=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查二倍角公式、向量的數(shù)量積、三角形面積公式、基本不等式的綜合應(yīng)用，考查化歸思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．