已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
5
3
,定點M(2,0),橢圓短軸的端點是B1,B2,且MB1⊥MB2
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)過點M且斜率不為0的直線交橢圓C于A,B兩點.試問x軸上是否存在異于M的定點P,使PM平分∠APB?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)利用離心率為
5
3
,可得
b
a
=
2
3
,由橢圓短軸的端點是B1,B2,且MB1⊥MB2,可得△MB1B2是等腰直角三角形,由此可求橢圓C的方程;
(2)設(shè)線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,結(jié)合PM平分∠APB,則直線PA,PB的傾斜角互補,建立方程,即可求得結(jié)論.
解答: 解:(1)因為橢圓的離心率為
5
3
,所以1-
b2
a2
=
5
9
,
所以
b
a
=
2
3

依題意△MB1B2是等腰直角三角形,從而b=2,故a=3,
所以橢圓C的方程是
x2
9
+
y2
4
=1
;.…(5分)
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為x=my+2.
將直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,消去x得 (4m2+9)y2+16my-20=0.…(7分)
所以y1+y2=
-16m
4m2+9
.…(8分)
若PM平分∠APB,則直線PA,PB的傾斜角互補,所以kPA+kPB=0.…(9分)
設(shè)P(a,0),則有
y1
x1-a
+
y2
x2-a
=0

將x1=my1+2,x2=my2+2代入上式,整理得
2my1y2+(2-a)(y1+y2)
(my1+2-a)(my2+2-a)
=0,
所以 2my1y2+(2-a)(y1+y2)=0.…(12分)
將y1+y2=
-16m
4m2+9
,y1y2=
-20
4m2+9

代入上式,整理得(-2a+9)•m=0.…(13分)
由于上式對任意實數(shù)m都成立,所以a=
9
2

綜上,存在定點P(
9
2
,0),使PM平分∠APB.…(14分)
點評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運用,考查存在性問題的探究,屬于中檔題.
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