Question

5．若向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$滿足：|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=3，且當(dāng)λ∈R時(shí)，|$\overrightarrow-λ\overrightarrow{a}$|的最小值為2$\sqrt{2}$，則向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$在向量$\overrightarrow{a}$方向上的投影為（　�。�

• A． 1 或2
• B． 2
• C． 1 或3
• D． 3

Answer 1

分析 設(shè)出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，由|$\overrightarrow-λ\overrightarrow{a}$|的最小值為2$\sqrt{2}$，求出使${（\overrightarrow-λ\overrightarrow{a}）}^{2}$的最小值為8的λ值，再代入 ${\overrightarrow}^{2}$-2λ$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+λ²${\overrightarrow{a}}^{2}$=9-2λ•2•3•cosθ+4λ²=8，解出cosθ，再由投影公式求解．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，
∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=3，且當(dāng)λ∈R時(shí)，|$\overrightarrow-λ\overrightarrow{a}$|的最小值為2$\sqrt{2}$，∴${（\overrightarrow-λ\overrightarrow{a}）}^{2}$的最小值為8，
即 ${\overrightarrow}^{2}$-2λ$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+λ²${\overrightarrow{a}}^{2}$=9-2λ•2•3•cosθ+4λ²的最小值為8，
當(dāng)λ=$\frac{-（-12cosθ）}{2×4}=\frac{3}{2}cosθ$時(shí)，${（\overrightarrow-λ\overrightarrow{a}）}^{2}$有最小值為8，
即4×$（\frac{3}{2}cosθ）^{2}-12cosθ•（\frac{3}{2}cosθ）+9=8$，解得cos$θ=±\frac{1}{3}$．
向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$在向量$\overrightarrow{a}$方向上的投影為$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}=\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cosθ}{2}=\frac{4+6cosθ}{2}$，
∵cos$θ=±\frac{1}{3}$，∴$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$=3或1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．