Question

10．已知橢圓C：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}$=1，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是該橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A（4，1），P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△APF₁的周長(zhǎng)取最大值時(shí)，△APF₁的面積為$\frac{56}{5}$．

Answer 1

分析 由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a=10，利用三角形三邊大小關(guān)系可得：|PF₁|+|PA|=10-|PF₂|+|PA|≤10+|AF₂|即可得出．

解答 解：解：如圖所示，由橢圓C=1可得a=5，右焦點(diǎn)F₂（4，0）．|F₁F₂|=8
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=10，∴|PF₁|+|PA|=10-|PF₂|+|PA|≤10+|AF₂|．
△APF₁的周長(zhǎng)取最大值時(shí)，三點(diǎn)P、A、F₂共線，且點(diǎn)P在第四象限，
此時(shí)F₁F₂⊥AP，|PF₂|=$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{9}{5}$，△APF₁的面積S=$\frac{1}{2}×$|F₁F₂|×|PA|=$\frac{1}{2}×8×（\frac{9}{5}+1）=\frac{56}{5}$．
故答案為：$\frac{56}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義、三角形三邊大小關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬中檔題．