【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx和g(x)=lnx. (Ⅰ) 若a=b=1,求證:f(x)的圖象在g(x)圖象的上方;
(Ⅱ) 若f(x)和g(x)的圖象有公共點(diǎn)P,且在點(diǎn)P處的切線相同,求a的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)證明:若a=b=1,即有f(x)=x2+x,
令h(x)=f(x)﹣g(x)=x2+x﹣lnx,h′(x)=2x+1﹣ =
= ,x>0,
當(dāng)x> 時(shí),h′(x)>0,h(x)遞增;當(dāng)0<x< 時(shí),h′(x)<0,h(x)遞減.
可得h(x)在x= 處取得極小值,且為最小值,且h( )= + ﹣ln >0,
即有h(x)>0恒成立,則f(x)的圖象在g(x)圖象的上方;
(Ⅱ)設(shè)P的坐標(biāo)為(m,n),
f(x)=ax2+bx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2ax+b,
g(x)=lnx的導(dǎo)數(shù)為g′(x)= ,
可得2am+b= ,且n=am2+bm=lnm,
消去b,可得am2+1﹣2am2=lnm,
可得a= (m>0),
令u(m)= (m>0),
則u′(m)= ,
當(dāng)m>e 時(shí),u′(m)>0,u(m)遞增;當(dāng)0<m<e 時(shí),u′(m)<0,u(m)遞減.
可得u(m)在m=e 處取得極小值,且為最小值,且u(e )= =﹣ ,
則a≥﹣ ,
故a的取值范圍是[﹣ ,+∞)
【解析】(Ⅰ)令h(x)=f(x)﹣g(x)=x2+x﹣lnx,求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,可得極小值,且為最小值,判斷最小值大于0,即可得證;(Ⅱ)設(shè)P的坐標(biāo)為(m,n),分別求出f(x),g(x)的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率,即有2am+b= ,且n=am2+bm=lnm,消去b,可得a= (m>0),令u(m)= (m>0),求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值,即可得到所求范圍.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,BD是正方形ABCD的對(duì)角線,弧的圓心是A,半徑為AB,正方形ABCD以AB為軸旋轉(zhuǎn),求圖中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=ln(1+x)﹣x﹣ax2 .
(1)當(dāng)x=1時(shí),f(x)取到極值,求a的值;
(2)當(dāng)a滿足什么條件時(shí),f(x)在區(qū)間 上有單調(diào)遞增的區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某數(shù)學(xué)教師對(duì)所任教的兩個(gè)班級(jí)各抽取20名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,分?jǐn)?shù)分布如表,若成績(jī)120分以上(含120分)為優(yōu)秀.
分?jǐn)?shù)區(qū)間 | 甲班頻率 | 乙班頻率 |
[0,30) | 0.1 | 0.2 |
[30,60) | 0.2 | 0.2 |
[60,90) | 0.3 | 0.3 |
[90,120) | 0.2 | 0.2 |
[120,150] | 0.2 | 0.1 |
優(yōu)秀 | 不優(yōu)秀 | 總計(jì) | |
甲班 | |||
乙班 | |||
總計(jì) |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
(Ⅰ)求從乙班參加測(cè)試的90分以上(含90分)的同學(xué)中,隨機(jī)任取2名同學(xué),恰有1人為優(yōu)秀的概率;
(Ⅱ)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成上面的2×2列聯(lián)表:在犯錯(cuò)概率小于0.1的前提下,你是否有足夠的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是否優(yōu)秀與班級(jí)有關(guān)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠2萬(wàn)元設(shè)計(jì)了某款式的服裝,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),每生產(chǎn)1百套該款式服裝的成本為1萬(wàn)元,每生產(chǎn)(百套)的銷售額(單位:萬(wàn)元).
(1)若生產(chǎn)6百套此款服裝,求該廠獲得的利潤(rùn);
(2)該廠至少生產(chǎn)多少套此款式服裝才可以不虧本?
(3)試確定該廠生產(chǎn)多少套此款式服裝可使利潤(rùn)最大,并求最大利潤(rùn).(注:利潤(rùn)=銷售額-成本,其中成本=設(shè)計(jì)費(fèi)+生產(chǎn)成本)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABC,AC=1,AA1=2,∠BAC=90°,若直線AB1與直線A1C的夾角的余弦值是 ,則棱AB的長(zhǎng)度是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,點(diǎn)E是棱PD的中點(diǎn),點(diǎn)F是PC的中點(diǎn). (Ⅰ)證明:PB∥平面AEC;
(Ⅱ)若底面ABCD為正方形, ,求二面角C﹣AF﹣D大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等腰梯形中(如圖1),, , , 為邊上一點(diǎn),且,將沿折起,使平面平面(如圖2).
(1)證明:平面平面;
(2)試在棱上確定一點(diǎn),使截面把幾何體分成的兩部分.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐的底面為等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足為H,PH是四棱錐的高,E為AD的中點(diǎn).
(1)證明:PE⊥BC;
(2)若∠APB=∠ADB=60°,求直線PA與平面PEH所成角的正弦值.
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