Question

15．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-4}$=1（m＞2）的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF₁|•|PF₂|=2$\sqrt{3}$m，則該橢圓離心率的取值范圍為$[\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{3}]$．

Answer 1

分析 由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2m，利用基本不等式的性質(zhì)可得：|PF₁|+|PF₂|≥$2\sqrt{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$，化簡(jiǎn)整理即可得出．另一方面：設(shè)∠F₁PF₂=θ，由余弦定理可得：$|P{F}_{1}{|}^{2}$+$|P{F}_{2}{|}^{2}$-2|PF₁||PF₂|cosθ=（2c）²=16．
$|P{F}_{1}{|}^{2}$+$|P{F}_{2}{|}^{2}$+2|PF₁||PF₂|=4m²．相減利用三角函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法即可得出．

解答 解：由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2m，
∴2m=|PF₁|+|PF₂|≥$2\sqrt{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=2$\sqrt{2\sqrt{3}m}$，
化為${m}^{2}≥2\sqrt{3}m$，又m＞2，
解得$m≥2\sqrt{3}$．
另一方面：設(shè)∠F₁PF₂=θ，
由余弦定理可得：$|P{F}_{1}{|}^{2}$+$|P{F}_{2}{|}^{2}$-2|PF₁||PF₂|cosθ=（2c）²=16．
$|P{F}_{1}{|}^{2}$+$|P{F}_{2}{|}^{2}$+2|PF₁||PF₂|=4m²．
相減可得：1+cosθ=$\frac{{m}^{2}-4}{\sqrt{3}m}$．
∵θ∈[0，π），
∴0＜$\frac{{m}^{2}-4}{\sqrt{3}m}$≤2．m≥2$\sqrt{3}$
∴2≤m≤$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$．
∴$e=\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{m}^{2}-4}{{m}^{2}}}$=$\frac{2}{m}$∈$[\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{3}]$，
∴該橢圓離心率的取值范圍為$[\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{3}]$，
故答案為：$[\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．