Question

已知函數(shù)f(x)＝2^x＋lg(x＋1)－2，

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)證明函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù)；

(3)求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間，并求出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

解：(1)由x＋1>0，得x>－1，所以函數(shù)的定義域?yàn)?－1，＋∞)；

(2)證明：設(shè)x₁，x₂∈(－1，＋∞)，且x₁<x₂，

則f(x₁)－f(x₂)

＝2x₁＋lg(x₁＋1)－2－[2x₂＋lg(x₂＋1)－2]

＝(2x₁－2x₂)＋[lg(x₁＋1)－lg(x₂＋1)]．

因?yàn)?i>x₁<x₂，所以2x₁<2x₂，lg(x₁＋1)<lg(x₂＋1)，

所以2x₁－2x₂<0，lg(x₁＋1)－lg(x₂＋1)<0，

所以f(x₁)－f(x₂)<0，所以函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù)；

(3)因?yàn)?i>f(0)＝－1，f(1)＝lg2>0，所以f(0)f(1)<0，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為(0,1)，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有一個(gè)．